INTRODUCCIÓN A LA MATEMÁTICA (2019)
Docente: Luis Millan
PROMOCIONABLE
1° EXAMEN: 25/09/2019
Apps recomendadas:
Calculadora Fraccional
Photomath
HiPER Scientific Calculator
Símbolos matemáticos (PDF)
Matemática simplificada, 2da Edición
APUNTES PERSONALES
CONJUNTO → colección de objetos
/ → tal que...
∈ → pertenece a...
∉ → no pertenece a...
1)
e ∈ A → e pertenece a A. (porque el conjunto A incluye a las vocales y "e" es una vocal)
2)
2524 ∈ B → 2524 pertenece a B. (porque el conjunto B incluye los numeros pares)
-----
SIMBOLOGÍA CONJUNTISTA
La pertenencia o no pertenencia se refiere a la relación "elemento-conjunto".
⊂ → esta contenido o es igual a...
⊆ → esta contenido y es menor pero no igual a...
⊄ → no esta contenido en...
Ejemplos:
A = { vocales }
B = { consonantes }
C = { abecedario }
A ⊄ B → las vocales no están incluidas en las consonantes.
B ⊂ C → las consonantes están incluidas en el abecedario.
A ⊂ C → las vocales están incluidas en el abecedario.
A ⊂ A → vocales es igual a vocales.
-----
∅ → vacío, no contiene ningún elemento. Todo conjunto tiene al vacío como subconjunto.
OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS: UNIÓN DE CONJUNTOS
∪ → unión
Sean A y B dos conjuntos no vacíos.
A ∪ B = { x / x ∈ A o x ∈ B } → todos los elementos que inicialmente eran de A o B se suman.
INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS
∩ → intersección
Sean A y B dos conjuntos no vacíos.
A ∩ B = { x / x ∈ A y X ∈ B } → lo que pertenece tanto a A como a B.
DIFERENCIA ENTRE CONJUNTOS
A - B = { x / x ∈ A y x ∉ B } → todo lo que pertenece a un conjunto y a otro no.
-----
U → conjunto universal, lo contrario al vacío, el todo.
COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO
A∁ → complemento de un conjunto, todo lo que no pertenece a el.
Sean A y B conjuntos no vacíos y U el conjunto universal.
A∁ = { x / x ∉ A } → el complemento de A es todo lo que no pertenezca al conjunto A.
B∁ = { x / x ∉ B } → el complemento de B es todo lo que no pertenezca al conjunto B.
Ejemplo: en una lista del 0 al 10.
A = { 0, 1, 2, 3, 4 }
Entonces el complemento son todos los números restantes que no pertenecen a A.
A∁ = { 5, 6, 7, 8, 9, 10 }
PROPIEDADES
EJERCICIOS DEL PRIMER EXAMEN
1)
A = {1 ; 2 ; 3}
B = {-1 ; -2 ; -3}
C = {-1 ; 0 ; 1}
Hallar:
a) A ∪ B
b) A ∩ B
c) A ∪ B ∪ C
d) A ∩ C
e) B ∩ C
2)
A son los estudiantes de turismo.
B son las personas que se quieren recibir de licenciados en turismo.
C son las personas zurdas.
D son las personas que usan anteojos.
E son los arqueros de futbol.
Explicar:
a) C ∪ D
b) A ∩ C
c) A ⊂ B
d) E ∩ B
Usando los conjuntos anteriores, pasar a teoria de conjuntos:
e) Todos los estudiantes de turismo se quieren recibir.
f) Algunos estudiantes de turismo son zurdos y usan anteojos.
g) Los arqueros de futbol no usan anteojos.
h) Los estudiantes de turismo que son zurdos son arqueros.
3) Simplificar:
4) Realizar operación de polinomios:
PROMOCIONABLE
Apps recomendadas:
Calculadora Fraccional
Photomath
HiPER Scientific Calculator
Símbolos matemáticos (PDF)
Matemática simplificada, 2da Edición
APUNTES PERSONALES
TEORÍA DE CONJUNTOS
CONJUNTO → colección de objetos
/ → tal que...
∈ → pertenece a...
∉ → no pertenece a...
1)
A = { a, e, i, o, u } ← definido por extensión
A = { vocales } ← definido por comprensión
e ∈ A → e pertenece a A. (porque el conjunto A incluye a las vocales y "e" es una vocal)
2)
B = { 2, 4, 6, 8, ...}
2524 ∈ B → 2524 pertenece a B. (porque el conjunto B incluye los numeros pares)
-----
SIMBOLOGÍA CONJUNTISTA
La pertenencia o no pertenencia se refiere a la relación "elemento-conjunto".
⊂ → esta contenido o es igual a...
⊆ → esta contenido y es menor pero no igual a...
⊄ → no esta contenido en...
Ejemplos:
A = { vocales }
B = { consonantes }
C = { abecedario }
A ⊄ B → las vocales no están incluidas en las consonantes.
B ⊂ C → las consonantes están incluidas en el abecedario.
A ⊂ C → las vocales están incluidas en el abecedario.
A ⊂ A → vocales es igual a vocales.
-----
∅ → vacío, no contiene ningún elemento. Todo conjunto tiene al vacío como subconjunto.
OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS: UNIÓN DE CONJUNTOS
∪ → unión
Sean A y B dos conjuntos no vacíos.
A ∪ B = { x / x ∈ A o x ∈ B } → todos los elementos que inicialmente eran de A o B se suman.
INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS
∩ → intersección
Sean A y B dos conjuntos no vacíos.
A ∩ B = { x / x ∈ A y X ∈ B } → lo que pertenece tanto a A como a B.
DIFERENCIA ENTRE CONJUNTOS
A - B = { x / x ∈ A y x ∉ B } → todo lo que pertenece a un conjunto y a otro no.
-----
U → conjunto universal, lo contrario al vacío, el todo.
COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO
A∁ → complemento de un conjunto, todo lo que no pertenece a el.
Sean A y B conjuntos no vacíos y U el conjunto universal.
A∁ = { x / x ∉ A } → el complemento de A es todo lo que no pertenezca al conjunto A.
B∁ = { x / x ∉ B } → el complemento de B es todo lo que no pertenezca al conjunto B.
Ejemplo: en una lista del 0 al 10.
A = { 0, 1, 2, 3, 4 }
Entonces el complemento son todos los números restantes que no pertenecen a A.
A∁ = { 5, 6, 7, 8, 9, 10 }
PROPIEDADES
- U∁ = ∅
- ∅∁= U
- (A∁)∁ = A
- A ∩ A∁ = ∅
- A ∪ A∁ = U
- A ∪ U = U
- A ∩ U = A
- A ∪ ∅ = A
- A ∩ ∅ = ∅
- A ∪ A = A
- A ∩ A = A
EJERCICIOS DEL PRIMER EXAMEN
1)
A = {1 ; 2 ; 3}
B = {-1 ; -2 ; -3}
C = {-1 ; 0 ; 1}
Hallar:
a) A ∪ B
b) A ∩ B
c) A ∪ B ∪ C
d) A ∩ C
e) B ∩ C
2)
A son los estudiantes de turismo.
B son las personas que se quieren recibir de licenciados en turismo.
C son las personas zurdas.
D son las personas que usan anteojos.
E son los arqueros de futbol.
Explicar:
a) C ∪ D
b) A ∩ C
c) A ⊂ B
d) E ∩ B
Usando los conjuntos anteriores, pasar a teoria de conjuntos:
e) Todos los estudiantes de turismo se quieren recibir.
f) Algunos estudiantes de turismo son zurdos y usan anteojos.
g) Los arqueros de futbol no usan anteojos.
h) Los estudiantes de turismo que son zurdos son arqueros.
3) Simplificar:
4) Realizar operación de polinomios:
5)
a = turistas chinos
b = turistas ingleses
c = turistas norteamericanos
Expresar en lenguaje algebraico:
a) El total de turistas chinos, ingleses y norteamericanos que visitaron la ciudad X fue de 15000.
b) Los turistas ingleses, los americanos y la mitad de los chinos hablan en ingles.
c) Los turistas chinos son 5 veces mas numerosos que los ingleses.
d) El total de turistas norteamericanos que visito la ciudad Y fue 6500.
-----
EJERCICIOS DEL SEGUNDO EXAMEN
1) Analizar:
a) Puntos de corte con los ejes. ¿Que significarian los puntos de corte con el eje X?
b) Parte positiva y negativa.
c) Dominio e imagen de la curva.
d) Partes crecientes y decrecientes. ¿Que significa que la curva sea creciente?
e) Maximo y minimo absoluto. ¿Hay maximos o minimos relativos?
f) ¿En que porcentaje aumento la inversion del 2010 al 2011? ¿Cuanto disminuyo del 2013 al 2015?
g) ¿En que porcentaje disminuyo o aumento la inversion del 2008 al 2015?
2) Antonio compro un reproductor de DVD a $2125. Tenia un 20% de descuento pero solamente le descontaron 15%. ¿Cuanto tendria que haber pagado Antonio?
3) Completar:
4) Realizar una sola curva con las siguientes caracteristicas:
- El maximo absoluto es 65% alcanzado en enero.
- Un maximo relativo es 48% alcanzado en julio, otro de 35% en septiembre y otro de 25% en noviembre.
- Minimo absoluto de 15% en mayo.
- Minimos relativos de 32% en agosto, 22% en octubre y 23% en diciembre.
- Toda la curva es positiva y conexa.
-----
EJERCICIOS DEL SEGUNDO EXAMEN
1) Analizar:
a) Puntos de corte con los ejes. ¿Que significarian los puntos de corte con el eje X?
b) Parte positiva y negativa.
c) Dominio e imagen de la curva.
d) Partes crecientes y decrecientes. ¿Que significa que la curva sea creciente?
e) Maximo y minimo absoluto. ¿Hay maximos o minimos relativos?
f) ¿En que porcentaje aumento la inversion del 2010 al 2011? ¿Cuanto disminuyo del 2013 al 2015?
g) ¿En que porcentaje disminuyo o aumento la inversion del 2008 al 2015?
2) Antonio compro un reproductor de DVD a $2125. Tenia un 20% de descuento pero solamente le descontaron 15%. ¿Cuanto tendria que haber pagado Antonio?
3) Completar:
4) Realizar una sola curva con las siguientes caracteristicas:
- El maximo absoluto es 65% alcanzado en enero.
- Un maximo relativo es 48% alcanzado en julio, otro de 35% en septiembre y otro de 25% en noviembre.
- Minimo absoluto de 15% en mayo.
- Minimos relativos de 32% en agosto, 22% en octubre y 23% en diciembre.
- Toda la curva es positiva y conexa.